很多资料或题目讲到关于数的整除性质，但是性质怎么来的很少介绍，在此"简单举例"推导以助理解掌握，方法多样的只举其中之一，有些数字类似的情况也不重复，以免占用大家宝贵的时间。

一般地，若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零， 我们就说b能被a整除（或说a能整除b），

记为：a|b（"|"是整除符号），读作"a整除b"或"b能被a整除"

一、我们先看几个基本的性质

1、 若a|b，a|c，则a| (b±c)

• 运用除法与分数的关系解释

• 通俗地讲，如果两个数能被同一个数整除，那么它们的和、差也能被这个数整除（积当然也可以）

2、 若a|b，b|c，则a|c

• 通俗地讲就是一个数倍数的倍数是它的倍数。

3、 若a|bc，且(a,c)= 1，则a|b

4、 a|b，c|b，且a、c互质（a,c）=1，则bc|a

这个性质可以推广到多个两两互质的数的情况，非常有用；

例：2、3、5两两互质，如果一个数m能同时被这三个数整除，那么m能被30整除；

二、结合位值原理常见数的整除特征归纳说明

1、个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

2、 个位上是0或者5的整数都能被5整除(方法同上)。

3、 若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。（3与9判断方法一样）

请注意：从这里我们也可以得出一个整数除以9的余数等于它各数字之和除以9的余数。

4、 若一个整数末两位数能被4(或25)整除，则这个数能被4(或25)整除。（方法同2，找整百）；

5、若一个整数末三位数能被8(或125)整除，则这个数能被8(或125)整除。（方法同2，找整千）；

6、 若一个整数末四位数能被16(或625)整除，则这个数能被16(或625)整除。（方法同2，找整万）；

7、 一个三位以上的整数能否被7（或11、13）整除，从右往左三位断开，奇数段与偶数段分别相加再作差（以大减小）能否被7（或11、13）整除 ，（右往左－三位断－奇偶分组－求和－再作差）；

8、 一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差（大-小）如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数(比上面方法简单一点点)；

9、判断一个整数能否被99、999、9999....整除，可以“从右往左”按照两位、三位、四位断开再求和。

• 其实所有关于“9”的整除原理都一样

10、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个；

11、 特别地：1与0的特性

1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

三、关键

数的整除概念、性质及特征为我们解决一些实际问题带来了很大方便，应用广泛。需要在理解其来源的基础上掌握。

我们可以用上面的性质去判断能否被给定的数整除，反过来也可以用相关的性质去解决问题，比如结合平方数我们以前提到过的"n²+2"一定不是5的倍数。

四、经典例题

[例1]已知七位数" 1287xy6" 是72的倍数，求出所有符合条件的七位数（江苏竞赛题）

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因为72＝8*9(8、9互质)

所以只需满足七位数能同时被8、9整除即可

如果先从8入手是考虑三位情况较多，所以从9入手

例2、已知a、b是正整（a>b）对于如下两个结论：①在a+b、ab、a-b这三个数中必有2的倍数，②a+b、ab、a-b必有三的倍数，其中正确的是（ ）

A 都正确 ，B 都不正确；

C只有①正确 ， D 只有②正确；

[思路导航]因为数字不确定，但可以结合奇偶性及余数的情况进行"分类讨论"得出结果，注意利用倍数与因数的关系。

[例3]如果把1－1997这1997个自然数依次写下来，我们可以得一个多位数12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。

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根据前面推导能被9整除的数的特征我们知道：

"一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数"

所以求这个多位数除以9的余数问题，可以先转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少，然后就很好解决了

方法一：因为1至9这9个数字之和为45

所以10至19，20至29……90至99

这十个组的各位数位上的数字和分别为：

45+10，45+20……45+90。

所以：1至99这99个自然数各位数字之和为：

45+55+65+…+125+135=900

同理可得

1至999这999个自然数各位上数字之和为：

900+1000+…+1700+1800=13500

同理可得

1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为

13500+1000=14500

则1至1999这1999个自然数各数位的数字和为：

13500+14500=28000。

1998、1999这两个数各数位上的数字和为：27、28。

28000－27－28=27945，

9能整除27945

所以多位数除以9余0

方法二：

将1至1996这1996个自然数配成如下的998组：

（1，1996），（2，1995），……

每组两数之和为1997

998组所有数字之和等于：

（1+9+9+7）×998=25948

25948+1997＝27945

所以多位数除以9余0

方法三：根据整特性

由任意连续9个自然数所组成的多位数，

一定能被9整除；

而从1至1997一共有1997个数；

从1开始按9个一组分；

1997÷9=221(组)……8(个)；

1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997；

我们看这8个数所有数位上的数字和为：

19+20+21+22+23+24+25+26=180；

180能被9整除，所以多位数除以9余0。

（因为任意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2…，7，8这9个数，而这9个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数一定能被9整除。）